Graph adalah sekumpulan noktah (simpul/vertex) di dalam bidang dua dimensi yang dihubungkan dengan sekumpulan garis (sisi/edge). Graph dapat digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. Sedangkan Pohon (tree) adalah graph yang khusus. Pohon dapat didefinisikan sebagai graph-tak-berarah terhubung yang tidak mengandung sirkuit (cycle).
Perbedaan antara graph dengan tree yaitu
pada graph, mampu terjadi cycle, artinya dari suatu titik yang
terhubung oleh edge dapat kembali lagi ke vertextersebut.
Sedangkan tree, merupakan suatu graf yang alur edge nya tidak
dapat kembali lagi ke vertex awalnya.
Macam – macam representasi graph dalam
struktur data:
·
Dengan Array
yaitu pada suatu graf, hubungan antar simpul/vertexnya
direpresentasikan dengan array dua dimensi, misalnya Array[m][n], dimana m dan
n merupakan kolom dan baris yang merepresentasikan simpul-simpulnya dan nilai
dari array tersebut menandakan hubungan antar simpul. Apakah terdapat sisi yang
menghubungkan kedua simpul tersebut atau tidak.
Contoh Graf
Array yang terbentuk :
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
0
|
2
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
3
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
0
|
4
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
1
|
5
|
1
|
1
|
0
|
1
|
0
|
0
|
6
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
0
|
Contohnya:
Pada kolom ke 1 baris 1 bernilai 1
menandakan simpul 1 dengan simpul 1 itu sendiri saling terhubung. Begitu juga
dengan kolom ke 2 baris 1 dan sebaliknya baris ke 2 kolom 1 bernilai 1 juga
menandakan adanya hubungan antara simpul 2 dengan simpul 1.
Sedangkan nilai 0 menandakan bahwa
antara kedua simpul tersebut tidak saling berhubungan.
·
Dengan Linked List yaitu node/vertex dari graf tersebut direpresentasikan
dengan linked list dari header node. Setiap dari header node tersebut berisi
dua sampai tiga field atau lebih sesuai dengan kebutuhan. Pada graf berarah dan
tak berbobot (directed-unweighted graph) minimal dibutuhka tiga field yaitu:
info, nextVtx, edgePtr. info berisi informasi tentang vertex tersebut seperti
nama vertex atau semacamnya, nextVtx adalah pointer yang menunjuk ke vertex
selanjutnya jika ada. Sedangkan edgePtr adalah pointer yang menunjuk ke edge
dari vertex tersebut. Ilustrasi Node untuk Vertex dan Edge
dengan Linked List Contoh Graf Berarah-Tak Berbobot Ilustrasi Linked List dalam
Graf Representasi graph terbaik menurut kami yaitu dengan menggunakan
linked list. Merepresentasikan graph dengan matriks adjacency seperti pada
array tidak mencukupi karena membutuhkan info lebih lanjut mengenai jumlah
node. Jika sebuah graph harus dibentuk dalam rangka pemecahan masalah, atau
harus diperbarui secara dinamik selama program berlangsung, sebuah matriks baru
harus dibuat pada setiap penambahan atau penghapusan suatu node sehingga tidak
efisien, khususnya dalam dunia nyata dimana suatu graph bisa memiliki ratusan
atau lebih node. Jadi akan lebih baik jika membuat graph menggunakan linked
list.
1.
Shortest Path Problem adalah problem bagaimana kita mencari sebuah jalur pada
graf yang meminimalkan jumlah bobot sisi pembentuk jalur tersebut.
Macam- macam algoritmanya :
a. Algoritma
Dijkstra
adalah sebuah greedy algorithm dalam
memecahkan permasalahan jarak terpendek (shortest path problem) untuk sebuah
simple graph takberarah (undirected graph) dengan bobot-bobot sisi (edge
weights) yang bernilai tak-negatif. Algoritma Djikstra bekerja dengan cara
mengunjungi simpul-simpul pada graf dimulai dengan simpul sumber. Kemudian secara
berulang memilih simpul-simpul terdekat dan menghitung total bobot semua sisi
yang dilewati untuk mencapai simpul tersebut. ·
Menandai simpul awal dengan [0,-] dan
statusnya permanen · Beri label untuk node yang dapat berhubungan dengan
node permanen dengan [a,b] dan status temporary dimana: a = jarak terpendek ke
node awal b = node sebelumnya/yang mendahului ·
Mencari a terkecil dan status temporary
berubah menjadi permanen · Apabila status sudah permanen semua maka
proses berhenti, tetapi apabila belum akan kembali ke langkah b.
b. Algoritma
Bellman-Ford
adalah salah satu algoritma dalam
penyelesaian shortest path problem untuk weighted-directed graph (graf berarah)
dimana jika ada salah satu edge-nya yang bernilai negatif. Jika dalam graf
tersebut terdapat suatu cycle, dari edge negatif maka algoritma Bellman-Ford
hanya bisa mendeteksinya, dan algoritma ini tidak dapat menemukan shortest path
yang tidak mengulangi beberapa vertex dari graf semacam itu.
Menentukan vertex source dan daftar seluruh
vertices maupun edges · Assign nilai untuk distance dari vertex source = 0, dan
yang lain infinite ·
Mulailah iterasi terhadap semua vertices
yang dimulai dari vertex source, untuk menentukan distance dari semua vertices
yang berhubungan dengan vertex source dengan formula seperti berikut ini :
–
U = vertex asal
–
V = vertex tujuan
–
UV = Edges yang menghubungkan U dan V
–
Jika distance V, lebih kecil dari distance U + weight UV maka distance V, diisi
dengan distance U + weight UV
–
Lakukan hingga semua vertices terjelajahi.
Untuk mengecek apakah ada negative cycle
dalam graf tersebut lakukan iterasi untuk semua edges yang ada, kemudian
lakukan pengecekan seperti dibawah ini: Untuk semua edges UV, jika ada distance
vertex U + weight edges UV kurang dari
distance vertex V maka sudah jelas bahwa graf tersebut memiliki negative cycle.
c. Algoritma
Floyd
merupakan algoritma untuk pencarian
lintasan terpendek pada suatu graf berbobot (weighted graph). Algoritma
Floyd-Warshall membandingkan semua kemungkinan lintasan pada graf untuk setiap
sisi dari semua simpul. Cara kerja algoritma Floyd adalah sebagai berikut:
· Representasikan
graf dengan N buah simpul dan bobotnya dengan menggunakan dua buah matriks
ketetanggaan, matriks M untuk bobot dan Matriks Z untuk lintasan.
· Manipulasi
keduanya sebanyak N iterasi.
· Matriks
M hasil manipulasi akan menghasilkan bobot akhir
· Telusuri
Matriks Z untuk mendapatkan lintasan terpendek
d. Algoritma
Johnson
adalah algoritma yang digunakan untuk
mencari jarak terdekat, dimana di dalamnya juga terdapat algoritma Bellman Ford
dan algoritma Dijkstra dalam menentukan nilai-nilainya
· Langkah
awal penyelesaian Algoritma Johnson adalah mengkonstruksi digraph baru dengan
menambahkan titik baru pada digraph dan memberi bobot sisi yang keluar dari
titik baru tersebut dengan 0.
· Langkah
selanjutnya adalah mencari lintasan terpendek dari titik baru ke semua titik
lain. Lintasan terpendek tersebut digunakan untuk mengubah bobot semua sisi
pada digraph baru agar bobot semua sisi bernilai positif.
· Setelah
itu mencari lintasan terpendek dari tiap titik ke semua titik lain dan mengubah
hasilnya dengan menggunakan lintasan terpendek dari titik baru ke semua titik
lain.
· SHasil
dari perhitungan ini berupa matriks. Dari matriks ini dapat diketahui panjang
lintasan terpendek dari tiap titik ke semua titik lain.
a. Travelling
Salesman Problem (TSP)
adalah suatu permasalahan dimana seorang
salesman harus mengunjungi semua kota dimana tiap kota hanya dikunjunjungi
sekali, dan dia harus mulai dari dan kembali ke kota asal. Tujuannya adalah
menentukan rute dengan jarak total atau biaya paling minimum
Salah satu algoritma yang dapat dipakai
yaitu algoritma Heuristik yang mencari nilai minimum bobot dengan menggunakan
spanning tree sehingga menghasilkan irisan dari graf yang memiliki nilai
optimal. Proses selanjutnya adalah membentuk sirkuit Euler. Lalu simpul yang
dilalui lebih dari satu kali diperbaiki sehingga menghasilkan solusi paling
optimal.
Langkah-langkahnya adalah sebagai
berikut:
· Cari
minimum spanning tree yang menghubungkan tiap n simpul dari graph yang kita
namakan dengan network A
· Tentukan
simpul graph berderajat, jika k jumlah simpul berderajat ganjil, maka k pasti
genap. Kita pasangkan k simpul sehingga panjang cabang yang menghubungkan
simpul minimum. Pasangan simpul yang mempunyai nilai minimum membentuk jaringan
yang dinamakan network B. Network A dan B digabung menjadi network C.
· jaringan
C tidak mempunyai simpul berderajat ganjil. Kita dapat menggambarkan sirkuit
Euler di network C. Network C merupakan aproksimasi solusi dari travelling
salesman problem.
· Periksa
setiap simpul pada network C yang dikunjungi lebih dari satu kali dan perbaiki
solusi travelling salesman problem, dengan menerapkan ketidaksamaan 1(a,b) <
1(a,c) + 1(b,c)
b. Chinese
Postman Problem (CPP)
Masalah Chinese Postman Problem pertama
kali diformulasikan dalam bentuk masalah untuk menentukan sisi terpendek bagi
seorang tukang pos untuk melewati semua jalan yang ada dan kembali ke tempat
semula. Masalah ini dikemukakan oleh Kwan Mei-Ko di awal 1960-an dalam jurnal
Chinese Mathematics. Dalam istilah graf definisi CPP adalah mencari lintasan
pada suatu graf berbobot yang terhubung yang melewati semua sisi (minimal
sekali) dengan jumlah bobot minimum dari suatu simpul kembali ke simpul awal.
Masalah ini dapat terjadi pada graf berarah, tidak berarah, dan graf campuran.
Solusi untuk graf tidak berarah dan berarah dapat diselesaikan secara efisien
dalam waktu polinomial, sedangkan solusi untuk graf campuran ternyata sulit
didapat (termasuk dalam kategori masalah NP-Complete). Dasar untuk
menyelesaikan masalah CPP adalah keberadaan sirkuit dan lintasan Euler.
Algoritmanya adalah :
· Jika
graf adalah graf genap, maka hanya menentukan jalur Euler graf.
· Jika
graf ganjil, maka:
· Menghitung
dan kumpulkan simpul-simpul yang berderajat ganjil.
· Mencari
jalur-jalur terpendek yang menghubungkan simpul-simpul ganjil.
· Menggandakan
jalur-jalur tersebut secara virtual yaitu dengan melewat sisi dua kali
c. Coloring
Grap
atau pewarnaan graf adalah pemberian
warna terhadap vertex-vertex graf dimana dua buah vertex yang berdampingan
tidak boleh mempunyai warna yang sama. G bewarna n artinya graf tersebut
menggunakan n warna. Bilangan kromatis dari G = K(G) adalah jumlah minimum
warna yang dibutuhkan.
Algoritma yang dapat digunakan untuk
menyelesaikan permasalahan pewarnaan graf salah satunya adalah algoritma
Greedy. Langkah-langkahnya sebagai berikut:
· Inisialisasi
himpunan solusi dengan kosong.
· Urutkan
vertex berdasarkan jumlah edge terbanyak.
· Melakukan
pemilihan vertex yang akan diisi warnanya dengan fungsi seleksi vertex.
· Memilih
kandidat warna dengan menggunakan kandidat kurangi warna anggota himpunan
kandidat dengan warna yang diambil.
· Periksa
kelayakan warna yang dipilih menggunakan langkah ketiga. Jika layak dimasukkan
ke himpunan solusi.
· Periksa
apakah solusi sudah meliputi pewarnaan seluruh vertex. Jika sudah maka
berhenti, jika belum maka akan kembali ke langkah ketiga.
d. Minimum
Spanning Tree (MST)
merupakan cara menemukan jalan terpendek
dimana semua vertex telah terlewati sekali tanpa terjadi looping. Salah satu
algoritma yang dapat digunakan untuk menyelesaikannya yaitu algoritma
Prim.
Langkah-langkahnya sebagai berikut:
· Pilih
sisi graf G yang berbobot paling minimum dan masukkan ke dalam T.
· Pilih
sisi (u, v) yang mempunyai bobot minimum dan bersisian dengan simpul di T,
tetapi tidak membentuk sirkuit di T, lalu tambahkan ke dalam T.
· Ulangi
langkah kedua sebanyak n – 2 kali.
TREE
1. PENGERTIAN
TREE
Kumpulan node yang saling terhubung satu sama lain dalam suatu
kesatuan yang membentuk layakya struktur sebuah pohon. Struktur pohon adalah suatu
cara merepresentasikan suatu struktur hirarki (one-to-many) secara grafis yang
mirip sebuah pohon, walaupun pohon tersebut hanya tampak sebagai kumpulan
node-node dari atas ke bawah. Suatu struktur data yang tidak linier yang menggambarkan
hubungan yang hirarkis (one-to-many) dan tidak linier antara elemen-elemennya.
Deklarasi Pohon
Jika kita memperhatikan setiap simpul dalam pohon biner, kita bisa menyusun
struktur data yang tepat dari simpul-simpul tersebut. Kita dapat melihat
bahwa dalam setiap simpul selalu berisi dua buah pointer untuk menunjuk
ke cabang kiri dan cabang kanan, dan informasi yang akan disimpan
dalamsimpul tersebut.
typedef char TypeInfo;
typedef struct Simpul *Tree;
struct Simpul {
TypeInfo Info;
tree Kiri, /* cabang kiri */
Kanan; /* cabang kanan */
};
1. JENIS-JENIS
TREE
BINARY TREE
Tree dengan syarat bahwa tiap node hanya
boleh memiliki maksimal dua sub
pohon dan kedua subpohon harus terpisah.
Kelebihan struktur Binary Tree :
·
Mudah dalam penyusunan algoritma sorting
·
Searching data relatif cepat
1.
KUNJUNGAN PADA POHON BINER
Sebuah pohon biner memiliki
operasi traversal yaitu suatu kunjungan pada
suatu simpul tepat satu kali. Dengan
melakukan kunjungan lengkap kita akan
memperoleh urutan informasi secara
linier yang tersinpan di dalam pohon biner.
Terdapat tiga jenis kunjungan pada pohon
biner, yaitu :
1.
PREORDER
Kunjungan jenis ini mempunyai urutan
kunjungan sebagai berikut :
· Cetak
isi simpul yang dikunjungi.
· Kunjungi
cabang kiri.
· Kunjungi
cabang kanan.
1.
INORDER
Kunjungan jenis ini mempunyai urutan
kunjungan sebagai berikut :
· Kunjungi
cabang kiri.
· Cetak
isi simpul yang dikunjungi.
· Kunjungi
cabang kanan.
Prosedur untuk melakukan traversal
secara INORDER adalah sebagai berikut:
1.
POSTORDER
Kunjungan jenis ini mempunyai urutan
kunjungan sebagai berikut :
· Kunjungi
cabang kiri.
· Kunjungi
cabang kanan.
· Cetak
isi simpul yang dikunjungi
BERIKUT MERUPAKN CONTOH PROGRAMNYA
#include<stdio.h>//header file
#include<conio.h>
/* Deklarasi struct */
typedef struct Node{
int data; //data pada
tree
Node *kiri; //penunjuk node anak
kiri
Node *kanan; //penunjuk node anak kanan
};
/* Fungsi untuk memasukkan data ke dalam tree */
void tambah(Node **root, int databaru){
if((*root) ==
NULL){ //jika pohon/subpohon masih kosong
Node
*baru;//node “baru” dibentuk…
baru =
new Node;//berdasarkan struct “Node”
baru->data = databaru; //data node baru diisi oleh variabel databaru
baru->kiri = NULL;//penunjuk kiri node baru masih kosong
baru->kanan = NULL;//penunjuk kanan node baru masih kosong
(*root) = baru; //node pohon (root) diletakkan pada node baru
(*root)->kiri = NULL;//penunjuk kiri node root masih kosong
(*root)->kanan = NULL; //penunjuk kanan node root masih kosong
printf(“Data bertambah!”);
}
else if(databaru <
(*root)->data)//jika databaru kurang dari data node root…
tambah(&(*root)->kiri, databaru);//tambahkan databaru pada subpohon
kiri
else if(databaru >
(*root)->data)//jika databaru lebih dari data node root…
tambah(&(*root)->kanan, databaru); //tambahkan databaru pada subpohon
kanan
else if(databaru ==
(*root)->data)//jika databaru sama dengan data node root
printf(“Data sudah ada!”);//databaru tidak dapat ditambahkan pada tree
}
/* Fungsi untuk menampilkan data secara pre-order
(data ditampilkan dari node induk, node anak kiri, lalu node
anak kanan)
*/
void preOrder(Node *root){
if(root != NULL){//jika pohon/subpohon
tidak kosong
printf(“%d “, root->data);//menampilkan data node yang dikunjungi
preOrder(root->kiri);//mengunjungi node
anak kiri
preOrder(root->kanan); //mengunjungi
node anak kanan
}
}
/* Fungsi untuk menampilkan data secara in-order
(data ditampilkan dari node anak kiri, node induk, lalu node
anak kanan)
*/
void inOrder(Node *root){
if(root != NULL){//jika pohon/subpohon
tidak kosong…
inOrder(root->kiri);//mengunjungi node
anak kiri
printf(“%d “, root->data);//menampilkan
data node yang dikunjungi
inOrder(root->kanan);//mengunjungi node
anak kanan
}
}
/* Fungsi untuk menampilkan data secara post-order
(data ditampilkan dari node anak kiri, node anak kanan, lalu
node induk)
*/
void postOrder(Node *root){
if(root != NULL){//jika pohon/subpohon tidak
kosong
postOrder(root->kiri); //mengunjungi node
anak kiri
postOrder(root->kanan);//mengunjungi node
anak kanan
printf(“%d “, root->data); //menampilkan data
node yang dikunjungi
}
}
main(){
int pil, c;
Node *pohon, *t;
pohon = NULL;
do{
int data;
printf(“MENU\n”);
printf(“1.
Tambah\n”);
printf(“2.
Lihat Pre-Order\n”);
printf(“3.
Lihat In-Order\n”);
printf(“4.
Lihat Post-Order\n”);
printf(“5.
Exit\n”);
printf(“Pilihan : “); scanf(“%d”, &pil);
switch(pil){
case 1 :
printf(“Data baru : “);
scanf(“%d”, &data);
tambah(&pohon, data);
break;
case 2 :
if(pohon != NULL)
preOrder(pohon);
else
printf(“Masih kosong!”);
break;
case 3 :
if(pohon != NULL)
inOrder(pohon);
else
printf(“Masih
kosong!”);
break;
case 4 :
if(pohon != NULL)
postOrder(pohon);
else
printf(“Masih kosong!”);
break;
}
getch();
printf(“\n”);
}
while(pil != 5);
}
|
HASIL
0 Comments:
Posting Komentar